La sucesión de Fibonacci

La pregunta a la que nos enfrentamos los profesores de matemáticas cuando comenzamos un tema nuevo, es sin lugar a dudas:

¿Esto para qué sirve?

En el caso de las sucesiones es relativamente fácil mostrar su utilidad, pero además nos pueden permitir asombrar con la magia de las matemáticas porque hay apariciones de sucesiones en el mundo cotidiano que son totalmente increíbles.

¿Quién le iba a decir a Leonardo de Pisa
que la resolución de su problema de los conejos se relacionaba con el número de oro de los griegos y que dicho número aparece continuamente en la naturaleza?

El problema al que se enfrentó Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, era el siguiente:

Si una pareja de conejos tarda un mes en ser adulto y a partir de ese momento cada mes tienen una camada consistente en otra pareja de estos animales que, tras ser fértiles, engendrarán una nueva pareja de conejos. ¿Cuántas parejas de conejos habrá según vayan pasando los meses?

Mes                                           1             2             3             4             5             6             7

Nº de parejas de conejos           1             1             2             3             5             8             13

Así el número de parejas de animales en cada mes coincide con los términos de la sucesión:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Donde cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores.

Pero esta sucesión da para mucho más, porque  si dividimos cada término entre el anterior obtenemos lo siguiente:

1 : 1 =1

2 : 1 = 2

3 : 2 = 1,5

5 : 3 = 1,66…

8 : 5 = 1,6

…

Pero si avanzamos a términos mayores:

2584 : 1597 = 1,61803381…

10946 : 6765 = 1,6180339…

Curiosamente estos cocientes se acercan al valor del número áureo:

Si construimos una sucesión de rectángulos, cuyo lado se va aumentando según nos indique la sucesión de Fibonacci, obtendremos rectángulos áureos que se pueden utilizar para construir de forma aproximada la espiral logarítmica.

Esta espiral logarítmica es la estructura que tienen las conchas de los moluscos, las telas de araña, la trayectoria del vuelo de los insectos a un punto de luz artificial, la distribución de las pipas de los girasoles…

Todas estas coincidencias demuestran que las matemáticas no son una invención de la mente humana, sino un descubrimiento del hombre después de muchos años de estudio. Un estudio que nos puede proporcionar imágenes de gran belleza como nos muestra este otro vídeo.